Сумма не меняется

От перемены мест слагаемых сумма не меняется.

Один из наиболее частых запросов, с которым ко мне приходят люди, — неудовлетворенность своей работой. Обычно он звучит так: «Не нравится/бесит работа», «Не нравится то, чем я занимаюсь», «Закончил(-а) обучение, а работать по специальности не хочу». Поскольку у меня есть личный опыт смены профессии, эта тема имеет для меня резонанс.
Когда мы начинаем исследовать этот запрос, проверяем все возможные факторы дискомфорта — уровень дохода, признание начальства/руководства, взаимоотношения с коллегами, гласные и негласные правила в коллективе, условия работы, возможность карьерного и профессионального роста, собственные трудоголизм, гиперответственность и т.д. Но, как правило, выясняется, что с этими зонами можно как-то обходиться, и дело немного в другом.
Конечно, мы можем почувствовать, что на текущей работе получили все, что хотели, или что может дать компания. И тогда вроде бы логично просто сменить рабочее место — перевестись в другой департамент или перейти в другую компанию. А что, если мы чувствуем, что данный вид профессиональной деятельности не приносит удовлетворения, и в следующей компании повторится все то же самое? От перемены мест слагаемых сумма не меняется. Тогда встает вопрос — а чем же я хочу заниматься?
Этот вопрос — сложный. Обычно мы знаем, чего не хотим, но не знаем, чего хотим. Лично у меня он возник внезапно, но ответ пришел только через полгода усиленного мысленного вопрошания. Можно пройти тестирование на профориентацию, вспомнить, чем вам нравилось заниматься в детстве (может быть, вы играли перед зеркалом в Скарлетт О’ Хара), детские, подростковые и юношеские мечты и порывы. А может быть, вы уже знаете о некой незанятой нише и планируете ее освоить. В любом случае мне кажется важным услышать свою душу — что будет хорошо для нее?
Когда придет подходящий ответ, вы поймете — вот оно! То самое! Возбуждение и прилив энергии! Но через некоторое время эйфория может смениться сопротивлением — мы начнем говорить себе «Что за бред я себе придумал(-а)», «Лучше синица в руке, чем журавль в небе», «Вдруг не получится» и тому подобное. Но, скорее всего, идея не отпустит. И здесь только собственный выбор — готов(-а) я рискнуть или нет. В моем случае я принимала свою идею около года, ждала подходящего момента, а пока копила ресурсы, в т.ч. познавательные про новое дело. Видимо, я попала в верную для себя точку, потому как после принятия решения обстоятельства стали складываться помогающим образом.
Когда мы выходим из знакомой среды (увольняемся) условно «в никуда» (новая профессия, новый вид деятельности), мы перестаем чувствовать себя стабильно и безопасно. Организация, коллектив — это «материнская» форма, мы чувствуем себя в одной из ее ячеек безопасно и защищенно не только с финансовой точки зрения, но и эмоционально — нам есть куда ходить каждый день, где нас ждут и в нас нуждаются, пусть в основном технически.
Соответственно, выход из этой безопасной ячейки и разрыв с «матерью» вызывает мощнейшую тревогу. Мы ее не осознаем, но отчего-то вдруг нет сил и радости. На осознавание, проживание и адаптацию может уйти от 3 месяцев до года в зависимости от наличия поддержки окружающих (в т.ч. финансовой), профессиональной помощи, степени сложности организации нового дела и т.д.

Какое-то время будет необходимо выстраивать собственную безопасность в новых условиях. Например, понимать, что реализация задуманного может происходить не так, как мы задумали. Например, я думала, что сразу после учебы у меня будут клиенты, но пришлось поработать в 4 местах за 3 года для того, чтобы организовать частную практику. Бывает так, что родные и близкие могут не понять, что с вами происходит; возможно, придется выдерживать напряжение в связи с критикой и установлением собственных границ. Понадобится время, чтобы они увидели, что вам действительно хорошо в новой профессиональной ипостаси. Может быть, на каких-то этапах реализации идеи вас будут терзать сомнения, или вы поймете, что хотите заниматься чем-то еще.

На мой взгляд, в этом месте есть и второй слой — мы уходим не «от», а «к». То есть когда мы уходим «от», основная цель — неважно куда (на аналогичную работу), лишь бы уйти. А когда уходим «к» (своей идее), то по факту нам есть куда идти.

2.6. От перемены мест слагаемых сумма не изменяется

Главная > Образование > Математика > МАТЕМАТИКА «С НУЛЯ» (учебник) >

<< Назад | Оглавление | Далее >>

Еще недавно, учась сложению чисел, мы складывали кучки из монет. Тогда перед нами стояла задачи сложить две кучки. Но допустим, мы хотим теперь сложить не две, а несколько кучек. Это можно было бы сделать так: сгребаем их все сразу в одну большую кучу и пересчитываем в ней все монеты. Такой способ сложения всем бы был хорош, да только ни на счетах, ни на бумаге нельзя сделать ничего подобного. На счетах и бумаге мы умеем складывать между собой только два числа. Поэтому мы не будем сгребать вместе сразу все кучки, а поступим так, чтобы все наши действия можно было легко перенести на бумагу.

Итак, перед нами несколько кучек из монет. Мы знаем, сколько монет в каждой кучке, и теперь мы хотим узнать, сколько же у нас всего монет во всех кучках. Мы берем любые две кучки и сдвигаем их вместе, образуя одну новую кучку побольше. Умея складывать два числа на бумаге, мы сможем легко вычислить, сколько у нас монет в новой кучке без фактического их пересчета. Теперь у нас стало на одну кучку меньше. Далее, берем еще две кучки, сливаем их воедино, вычисляем новое число монет в только что образованной кучке и, таким образом, снова уменьшаем количество кучек на одну. Мы повторяем и повторяем эту процедуру, уменьшая всякий раз число кучек на единицу, до тех пор пока у нас не останется одна-единственная большая куча. Число монет в этой куче нам известно, причем вычислили мы его на бумаге, а не прямым пересчетом.

Очевидно, мы получим один и тот же ответ, совершенно независимо от того, в каком порядке мы сдвигали кучки. А значит, когда перед нами находится сумма чисел, например,

8 + 9 + 2,

мы можем вычислять ее тоже в любом порядке. Поэтому мы всегда будем выбирать такой порядок, какой для нас наиболее удобен. В данном случае удобно вначале сложить восьмерку и двойку, а потом добавить девятку:

8 + 2 + 9 = 10 + 9 = 19.

Но математический язык — это язык строгих правил. Спрашивается: на основании какого правила мы можем произвольно менять порядок вычислений при нахождении суммы нескольких слагаемым? Мы знаем, например, свойство коммутативности (которое, на школьном языке, называется также перестановочным свойством сложения):

a + b = b + a.

Можем ли мы, опираясь на это свойство, написать

8 + 9 + 2 = 8 + 2 + 9,

то есть просто переставить местами девятку и двойку, подобно тому, как мы меняем местами переменные a и b? Оказывается, нет, не можем. Вспомним, что, собственно, означает запись

8 + 9 + 2.

Это, как мы раньше договорились, всего лишь упрощенный вариант более подробной записи

(8 + 9) + 2.

Коммутативность сложения означает, что мы можем переставлять местами два непосредственно складываемых друг с другом числа. То есть, мы можем написать так:

(8 + 9) + 2 = (9 + 8) + 2,

или так:

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9),

или даже так:

(8 + 9) + 2 = 2 + (8 + 9) = 2 + (9 + 8),

однако при этом никак нельзя сделать так, чтобы восьмерка вначале складывалась с двойкой, а потом прибавлялась девятка. Коммутативность означает, что мы можем с одинаковым результатом либо кучку a придвинуть к кучке b, либо наоборот, кучку b придвинуть к кучке a, но коммутативность не позволяет произвольно выбирать пары кучек для слияния.

Как же быть? Мы должны вспомнить еще об одном свойстве сложения, а именно об ассоциативности (на школьном языке оно называется сочетательным свойством сложения):

(a + b) + c = a + (b + c).

Это свойство действительно позволяет менять порядок объединения кучек. Впрочем, далеко не произвольно. Мы теперь можем написать так:

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Если раньше мы должны были сперва обязательно складывать восьмерку и девятку, то теперь можем начать с того, чтобы сложить девятку и двойку. Но это же вовсе не то, к чему мы стремимся!

На самом деле, тут нужно воспользоваться обоими свойствами сразу. С помощью ассоциативности мы пришли к выражению

(8 + 9) + 2 = 8 + (9 + 2).

Теперь воспользуемся коммутативностью и поменяем местами девятку и двойку:

8 + (9 + 2) = 8 + (2 + 9).

Далее, снова воспользуемся ассоциативностью:

8 + (2 + 9) = (8 + 2) + 9.

И наконец, перепишем конечное выражение в упрощенном виде:

(8 + 2) + 9 = 8 + 2 + 9.

После многих усилий мы получили результат, который и без того с самого начала был очевиден. Зачем же это было нужно? А если нам понадобится посчитать более длинное выражение, например,

1 + 8 + 5 + 2 + 9,

нам тоже надо будет действовать по правилам? Разве мы не сможем сразу переписать его в удобном виде:

(9 + 1) + (8 + 2) + 5?

Вопросы резонные и в них следует хорошенько разобраться.

Начнем с того, что так уж устроена математика: ученые-математики вначале вводят хорошо продуманные правила, а потом неукоснительно им следуют. Другое дело, что нам с вами (пока еще не ученым), для того чтобы хорошо решать математические задачи, все эти правила знать необязательно. Я бы и не рассказывал вам ничего про коммутативность и ассоциативность, да только в школьных учебниках эти свойства (правда, под другим названием) выписаны жирным шрифтом и обведены в рамочку. При этом, однако, толком не объясняется, зачем они нужны и как их применять. Поэтому они моментально улетучиваются из памяти, что, в свою очередь, приводит к неприятностям на устных опросах и контрольных работах.

Так вот: нужны эти свойства для того, чтобы мы на законных основаниях могли по своему усмотрению менять порядок вычислений при нахождении суммы большого числа слагаемых. Разумеется, мы не будем всякий раз подробно расписывать шаг за шагом порядок применения этих свойств. Мы просто будем иметь в виду, что

Любое изменения порядка суммирования может быть, в принципе, получено на основании свойств коммутативности и ассоциативности.

Ни проверять, ни доказывать это общее утверждение мы сейчас не станем, а примем его, что называется, на веру. Вообще-то, настоящие ученые-математики ничего на веру не принимают, но мы с вами пока что еще не совсем настоящие ученые.

Теперь нам осталось уточнить еще один важный момент. Мы знаем, что складывать можно не только натуральные числа, но и целые, которые бывают и отрицательными. Спрашивается: если в сумме присутствуют отрицательные числа, то можно ли и в этом случае произвольно менять порядок суммирования?

Рассуждения с кучками монет нам теперь не помогут, потому что очень трудно представить себе кучку с отрицательным количеством монет. Но мы поступим на этот раз по-научному. Достаточно лишь убедиться, что свойства коммутативности и ассоциативности сохраняются и в случае произвольных целых чисел. И тогда из нашего общего утверждения (принятого на веру) со всей определенностью будет следовать, что порядок суммирования никак не влияет на значение суммы, даже если среди слагаемых есть отрицательные числа. Напомню, кстати, что любую разность можно переписать в виде суммы, например:

5 − 3 = 5 + (−3),
5 − (4 − 1) = 5 + (−4) + 1.

Задачи

2.6.1. Вычислить наиболее удобным способом:

24 + 15 + 6
9 + 43 + 11
12 + 16 + 8 + 4
35 + 33 + 15 + 7
и т.п.

2.6.2. Вычислить наиболее удобным способом:

63 + 29 − 3
38 + 14 − 8
25 − 17 − 15 + 37
190 − 3 − 90 + 13
−23 + 69 + 33 − 9
и т.п.

2.6.3. Дана пара выражений. Вычислить значение того из них, для которого это сделать проще.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *